Istoria zilei (37)

Kurt Gödel s-a născut în 28 aprilie 1906 în în oraşul ceh Brno, pe atunci în Imperiul Austro-Ungar, într-o familie de mici industriaşi. Tatăl său, de la care a moştenit, se pare, dragostea de ştiinţe şi înclinaţia spre logică, avea o fabrică de textile. De la vârsta de 10 ani, Gödel a început să acode o mare atenţie studiului matematicii, religiei şi limbilor străine. 

Gödel este autorul uneia dintre cele mai mari descoperiri matematice din secolul trecut (dacă nu cea mai mare), aşa-numita incompletitudine a matematicii, evidenţiată prin cele două celebre teoreme de incompletitudine publicate în anul 1931. Pentru a putea vorbi despre importanţa acestei descoperiri va trebui să facem un scurt excurs istoric.

Fiecare dintre noi a auzit, din şcoală, de sistemul axiomatic al lui geometriei euclidiene. Există mai multe sisteme axiomatice echivalente care pot fi utilizate pentru construirea geometriei euclidiene, dar, în fiecare dintre ele apare o axiomă „ciudată”, cea a paralelelor (sau a lui Euclid), sau o altă axiomă echivalentă, al cărei enunţ poate fi formulat astfel: printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă şi numai una la acea dreaptă. „Ciudăţenia” acestei teoreme constă într-o aparenţă mult mai complicată decât a celorlalte axiome, care sunt „extrem de evidente”. Pornind de la această „lipsă de evidenţă”, timp de multe secole, mai toţi marii matematicienii ai timpului s-au întrebat dacă nu cumva, sub „masca” de axiomă nu se ascunde, de fapt, o teoremă, adică un adevăr demonstrabil pe baza celorlalte axiome şi a teoremelor anterior demonstrate pe baza axiomelor. Cum singurul mod cunoscut, în acele timpuri, de a demonstra că un enunţ este o teoremă şi nu o axiomă, era de a demonstra efectiv acea teoremă, aceasta a fost direcţia în care s-au concentrat matematicienii, aceea de a „demonstra” axioma lui Euclid. Şi, culmea, cei mai mulţi au şi „reuşit” să facă acest lucru, dar, întotdeauna pe baza greşelii de raţionament numite cerc vicios. În alte cuvinte, au utilizat în demonstraţie o consecinţă a axiomei lui Euclid, lucru evident nepermis pentru o demonstraţie corectă. Dar, de multe ori, între momentul „demonstrării” axiomei lui Euclid şi cel al invalidării, pe bază de raţionament eronat, a acelei „demonstraţiei”, treceau adesea ani sau chiar decenii de „triumf” ştiinţific al matematicianului în cauză.

Cam pe la sfârşitul veacului al XVIII-lea, după secole de zadarnice eforturi, matematicienii au început să se întrebe: ce-ar fi dacă am elimina cu totul axioma lui Euclid, înlocuind-o cu un enunţ diferit, chiar dacă acesta ar „viola”, în mod evident, „bunul simţ” matematic şi „realitatea” fizică înconjurătoare? Ce-ar fi dacă am presupune, de exemplu, că, printr-un punct exterior unei drepte nu s-ar putea duce nicio paralelă la acea dreaptă, sau mai multe? 

Dar o astfel de axiomă nu are nicio legătură cu lumea în care noi trăim! Cum am putea accepta, de exemplu, că două drepte concurente (între ele) sunt, în acelaşi timp, paralele cu o a treia? E, evident, absurd. Dar, problema nu era cât de „absurdă” era noua construcţie logico-matematică, ci dacă este contradictorie sau nu. În alte cuvinte, ce se întâmplă dacă substituim axioma lui Euclid cu un alt enunţ? Va exista o consecinţă a acestei noi axiome care să contrazică celelalte axiome? Vom putea, aşadar, „demonstra” că axioma lui Euclid este, de fapt, o teoremă, folosind un raţionament de tipul „reducerii la absurd”?

În ciuda „absurdităţii” evidente a consecinţelor noilor axiome, matematicienii nu au reuşit să descopere nicio „fisură logică” în noile construcţii. Au luat naştere, astfel, încă două geometrii, cea eliptică, în care nu există paralele, şi cea hiperbolică, sau lobacevskiană, în care, printr-un punct exterior unei drepte se pot duce mai multe paralele. Dezvoltarea acestor geometrii a fost impulsionată de fervoarea cu care matematicienii au căutat, fără succes „contradicţia lor internă”.

Prin strădaniile unor matematicieni precum Leibniz, a fost creată logica simbolică, care substituie afirmaţiile verbale cu şiruri de simboluri matematice. Prin această operaţie în esenţă extrem de simplă, analiza logică a unui discurs devine aproape o operaţie de rutină. Astfel, devine posibilă analiza demonstraţiilor fundamentelor matematicii într-o manieră pe cât de simplă, pe atât de riguroasă.

Călugărul iezuit René Descartes este, la rândul său, autorul celei mai mari „crime” comise împotriva geometriei. El stabileşte o corespondenţă biunivocă între mulţimea numerelor reale şi aceea a punctelor unei drepte, pe baza căreia reduce studiul geometriei la cel al unor ecuaţii algebrice, adică, în ultimă instanţă, la nişte operaţii numerice, ale căror proprietăţi pot fi foarte bine exprimate folosind logica simbolică.

Cu acestă construcţie, geometria părea a fi „perfect izometrică” cu algebra, iar studiu aceasteia din urmă părea a fi a se putea realiza foarte uşor cu ajutorul logicii simbolice. Toate bune până aici, sau, mai bine spus, până la obiecţia lui Hilbert şi programul fundamentat pe aceasta. Despre ce era vorba? Hilbert a considerat că are mai mult sens să faci coerent fiecare aspect al matematicii, în loc să reduci această coerenţă la un izomorfism cu o altă disciplină matematică. Adică, în loc să se demonstreze aspecte ce ţin de geometrie prin algebră, interpretând punctele din spaţiu ca numere, fiecare ramură a matematicii, şi în special geometria, ar trebui să poate fi redusă la un sistem formal de simboluri.

La începutul secolului XX, Russell şi Whitehead au încercat să descopere cele mai intime secrete ale fundamentelor logice ale matematicii. Rolul strădaniilor lor s-a concretizat în cele două volume ale Principia Mathematica. Russell a sperat să descopere o notaţie formală, simbolică în care toate regulile de inferenţă să fie totalmente explicite. Sistemul formal al lui Russell urma, astfel, să conţină un sistem de semne („alfabetul”); o gramatică, adică un set de reguli pentru a combina semnele în formule; reguli de transformare (generare) care permită treacă generarea unei formule pe baza unei alte formule; axiome; demonstraţii, acestea fiind constituite dintr-un număr finit de formule, pornind de la o o axiomă (sau mai multe) şi mergând apoi pas cu pas, folosind regulile de transformare.

La începutul anilor ’20 ai secolului trecut, Hilbert (1862-1943) a formulat un program propriu, de unificare a întregii matematici pe un fundament axiomatic unitar. „Crezul” fundamental al acestui program a fost formulat de Hilbert: „nu există probleme insolubile” şi Wittgenstein: „tot ceea ce poate fi spus poate fi spus clar”. 

Această viziune mecanicistă asupra matematicii părea să elimine pentru totdeauna nevoia de gândire sau judecată. Matematica şi ştiinţa, in general, s-ar fi transformat într-un „paradis al leneşilor”, orice „adevăr” putând fi generat, „la cerere”, din „axiomele originare”, de către maşinile moderne de calcul.

Optimismul lui Hilbert, care a inspirat, în acea perioadă, mulţi oameni de stiinţă, avea, însă, să fie distrus definitiv, de lucrarea din 1931, a unui matematician german cvasi-necunoscut: Kurt Gödel: „Despre propoziţiile indecidabile din Principia Mathematica şi ale sistemelor înrudite între ele”. Gödel a demonstrat că mulţimea consecinţelor logice ale oricărui sistem formal este incompletă sau inconsistentă. În alte cuvinte, Gödel a demonstrat existenţa enunţurilor indecidabile în matematică, şi în stiinţe, în general, ceea ce înseamnă că matematica este şi va rămâne mereu incompletă. Există şi vor exista întotdeauna enunţuri matematice care nu vor putea fi demonstrate în interiorul sistemului axiomatic respectiv. Acceptarea acestor enunţuri ca axiome nu va reuşi să rezolve problema, în acel moment putând fi formulate alte enunţuri indecidabile.

Şi, ca şi când asta nu ar fi fost de ajuns, Gödel a demonstrat şi inconsistenţa matematicii. Adică, existenţa, în interiorul matematicii, a unor numere asociate simultan unor enunţuri de tipul „această afirmaţie este adevărate” şi „negaţia acestei afirmatii este adevărată”; Gödel nu utilizează, în demonstraţia sa, enunţuri matematice directe, ci asociază numere acestor enunţuri.

Rezultatul lui Gödel a şocat lumea matematicii, deoarece matematica fusese percepută, până atunci, ca singurul proprietar al logicii şi certitudinii, iar Gödel invalida această presupoziţie. Şi, aşa cum se întâmplase şi cu principiul lui Heisenberg, matematicienii şi filozofii au început să se întrebe asupra semnificaţiilor mai profunde ale teoremei lui Gödel. Cum putea fi ea interpretată? Care sunt implicaţiile acesteia? Ce înseamnă, de fapt, că există afirmaţii matematice adevărate care nu pot fi demonstrate? Cum arată asemenea adevăruri? Cum recunoaştem un astfel de adevăr?

În matematică există, la ora actuală, nenumărate probleme deschise, numite, uneori, conjecturi. Unele din ele se dovedesc a fi demonstrabile, şi chiar sunt demonstrate, dar altele nu sunt şi nu vor putea fi demonstrate niciodată, dar nici infirmate.

Einstein și Gödel în 1950

Presupunând că o astfel de conjectură reprezintă un adevăr fundamental, un adevăr care niciodată nu va putea fi dovedit, am putea să o declarăm ca una dintre axiomele fundamentale ale matematicii, dar asta nu va face decât să sporească numărul axiomelor cu încă una, şi apoi jocul reîncepe. 

Pentru unii, teoremele lui Gödel reprezintă o problemă majoră, un eşec în încercarea de a stabili că putem avea încredere totală în logică şi matematică. Alţii văd lucrurile într-o lumină mai bună. Oricum ar fi, marele proiect al lui Hilbert care a constat în reducerea edificiului matematicii la manipularea unor simboluri, operaţie care ar putea, în principiu, să fie efectuată de către un computer, s-a prăbuşit irevocabil. Gödel ne spune că o asemenea abordare prezintă nişte limitări şi nu poate fi aplicată matematicii în ansamblu. Există lucruri pe care matematicienii le fac şi care nu vor putea fi niciodată realizate de către calculatoare, iar acesta pare a fi un lucru bun.

Articolul lui Gödel din 1931 pune bazele a ceea ce se numeşte „teoria funcţiilor recursive”, un instrument puternic cu aplicaţii mai ales în tehnica de calcul.

În 1939, Gödel şi soţia sa au fugit din calea naziştilor, angajându-se la Princeton, unde a fost coleg cu Einstein, cu care, de altfel, a şi legat o strânsă prietenie.

Despre Gödel se presupune că ar fi avut anumite probleme mentale încă de când s-a născut, dar acestea au devenit din ce în ce mai evidente odată cu înaintarea în vârstă. Obsesia paranoidă a lui Gödel a fost aceea că va fi ucis prin otrăvire sau infectare, astfel că, pentru a se feri de acest lucru, nu mergea nicăieri decât echipat cu o mască stranie, care îi acoperea integral faţa, cu excepţia orificiilor pentru ochi, curăţa si dezinfecta excesiv tacâmurile şi farfuriile şi nu consuma decât mâncare făcută de soţia sa. Când aceasta a murit, a refuzat să mai mănânce şi a murit, pur şi simplu, de foame. Acestea sunt, poate, idiosincraziile unor indivizi pe care, cei mai mulţi dintre noi îi percepem nebuni – şi, poate aşa şi sânt – dar, in realitate, sunt nişte genii pe care, cu greu le putem nu inţelege, ci măcar accepta. Şi mă gândesc, de exemplu, şi la Grigory Perelman, matematicianul care preferă să trăiască într-o mizerie halucinante, deşi a câştigat premii consistente, pe care a refuzat să le ridice.

Teiştii fac, uneori, referinţe, la un aşa-numit argument ontologic al existenţei lui Dumnezeu, pe care Gödel l-a elaborat spre sfârşitul vieţii sale, deci într-o perioadă nu prea fastă a existenţei sale. În realitate, argumentul este criticabil din mai multe direcţii, dar nu este intenţia mea să vorbesc acum despre asta.